Natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym

Chcemy teraz znaleźć wyrażenie na rozkład natężenia w całym ekranie w funkcji kąta \( \theta \). Szczelinę dzielimy na \( N \) odcinków i każdy z nich traktujemy jak źródło zaburzenia falowego. Zakładamy, że dla małych kątów \( \theta \) zaburzenia falowe docierające do punktu P z różnych miejsc szczeliny mają jednakowe amplitudy \( E_{0} \). Wtedy w punkcie P dodaje się \( N \) wektorów natężenia pola elektrycznego \( E \) o tej samej amplitudzie \( E_{0} \) i tej samej częstości. Różnica faz między falami pochodzącymi z sąsiednich odcinków szczeliny wynosi \( \varphi \). Szukamy zatem zaburzenia wypadkowego dla różnych punktów P, to jest dla różnych kątów \( \theta \), co równocześnie odpowiada różnym wartościom \( \varphi \).

Skorzystamy tu z graficznej metody dodawania amplitud zaburzeń falowych. W tej metodzie każdej fali odpowiada wektor (nazywany wskazem), którego długość reprezentuje amplitudę fali, a kąt względem osi \( x \) fazę. Amplitudę wypadkową fali znajdujemy jako sumę wektorów amplitud (wskazów) uwzględniając tym samym amplitudy fal składowych jak i różnice faz między falami.

Na Rys. 1 poniżej jest przedstawiona konstrukcja geometryczna, za pomocą której obliczymy natężenie światła w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie.

Rysunek 1: Graficzne dodawanie wektorów amplitud w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie

Łuk okręgu jest utworzony z wektorów amplitud fal pochodzących z \( N \) elementarnych źródeł w szczelinie. Długość łuku wynosi \( E_{m} \) czyli jest równa maksymalnej amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strzałek). Kąt \( \phi \) w dolnej części rysunku przedstawia różnicę fazy między skrajnymi wektorami w łuku to znaczy \( \phi \) jest różnicą faz pomiędzy promieniami wychodzącymi z góry i dołu szczeliny.

Z Rys. 1 widać, że zachodzi związek

(1)

\( {\frac{E_{{\theta }}/2}{R}=\text{sin}\frac{\varphi }{2}} \)

skąd

(2)

\( {E_{{\theta }}=2R\text{sin}\frac{\varphi }{2}} \)

W mierze łukowej kąt \( \varphi =E_{{m}}/{R} \) więc

(3)

\( {R=\frac{E_{{m}}}{\varphi }} \)

Podstawiając tę zależność do równania ( 2 ), otrzymujemy

(4)

\( {E_{{\theta }}=\frac{E_{m}}{\varphi /2 }\text{sin}\frac{\varphi}{2}} \)

lub

(5)

\( {E_{{\theta }}=\frac{E_{{m}}}{\alpha }\text{sin}\alpha } \)

gdzie \( \alpha \) = \( \phi \) /2.

Wektory na Rys. 1 odpowiadają amplitudom pola elektrycznego. Żeby otrzymać natężenie światła trzeba amplitudy podnieść do kwadratu, więc na podstawie równania ( 5 ) otrzymujemy

(6)

\( {I_{{\theta }}=I_{{m}}\left(\frac{\text{sin}\alpha }{\alpha}\right)^{{2}}} \)

Jak widzimy, w przeciwieństwie do obrazu interferencyjnego, natężenia kolejnych maksimów dyfrakcyjnych nie są jednakowe.

Ponieważ \( \phi \) jest różnicą faz dla promieni wychodzących z brzegów szczeliny o szerokości \( a \), więc różnica dróg jakie przebywają te promienie do punktu P wynosi asin \( \theta \). Korzystając z relacji

(7)

\( {\frac{\text{różnica faz}}{2\pi}=\frac{\text{różnica dróg}}{\lambda }} \)

otrzymujemy

(8)

\( {\alpha =\frac{\varphi }{2}=\frac{\mathit{\pi a}}{\lambda}\text{sin}\theta } \)

Łącząc równania ( 6 ) i ( 9 ), możemy obliczyć natężenie światła dla obrazu dyfrakcyjnego otrzymanego dla pojedynczej szczeliny. Widzimy, że natężenie \( I_\theta \) przyjmuje wartości minimalne dla

(9)

\( {\alpha =\mathit{m\pi},\;\;\;\;\;m=1,\;2,\;3,\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}} \)

Podstawiając tę zależność do równania ( 8 ) otrzymujemy wynik zgodny z uzyskaną poprzednio zależnością Dyfrakcja na pojedyńczej szczelinie-( 2 ).

Podobnie jest z wartościami maksymalnymi natężenia, które otrzymujemy dla

(10)

\( {\alpha =\left(m+\frac{1}{2}\right)\pi,\;\;\;\;\;m=1,\;2,\;3,\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}} \)

Na Rys. 2 przedstawiono rozkład natężenia światła (krzywe I \( _\theta \)) w funkcji położenia na ekranie (kąta \( \theta \)) dla różnych szerokości szczeliny (w stosunku do długości fali \( \lambda \)).

Rysunek 2: Natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym pojedynczej szczeliny

Zadanie 1: Stosunek natężeń maksimów dyfrakcyjnych

Treść zadania:

Jak widzieliśmy na Rys. 2 natężenia kolejnych maksimów w obrazie dyfrakcyjnym nie są jednakowe. Oblicz stosunek natężeń trzech kolejnych maksimów do natężenia maksimum środkowego w obrazie dyfrakcyjnym dla pojedynczej szczeliny. Wskazówka: Skorzystaj z warunku na maksimum (dla \( m \) = 1, 2, 3) i wyrażenia ( 6 ) na natężenie światła.

Tabela 1: Tabela do zadania

	\( m = 1 \)	\( m = 2 \)	m = 3
\( I_{\theta}/I_{m} \)

Symulacja 1: Dyfrakcja na jednej szczelinie

Pobierz symulację

Program pozwala obserwować wynik dyfrakcji fal świetlnych powstałych w wyniku przejścia płaskiej fali świetlnej przez przesłonę z jedną szczeliną. W programie można zmieniać szerokość szczeliny, odległość szczeliny od ekranu oraz długość fali.

Autor: Zbigniew Kąkol, Jan Żukrowski

Fizyka

Natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym

Zadanie 1: Stosunek natężeń maksimów dyfrakcyjnych

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Symulacja 1: Dyfrakcja na jednej szczelinie

Temat:
Opis:
Typ:

Email: